Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離不大于1的概率為

1

6

π

．

Answer 1

分析：本題是幾何概型問題，欲求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于1的概率，先由與點(diǎn)A距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)八分之一個(gè)球面，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法求解即可．

解答：解：本題是幾何概型問題，
與點(diǎn)A距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)八分之一個(gè)球面，
其體積為：V₁=

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為：

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為：

π 6

13

=

1

6

π．
故答案為：

1

6

π．

點(diǎn)評(píng)：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=

N(A)

N

求解．考查幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．