如圖,已知焦點在x軸上的橢圓
x2
20
+
y2
b2
=1(b>0)
經(jīng)過點M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求實數(shù)m的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使△ABM為直角三角形,若存在,求出m的值,若不存,請說明理由.
(1)依題意
16
20
+
1
b2
=1
,解得b2=5,…(2分)
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
20
+
y2
5
=1
.…(3分)
(2)由
y=x+m
x2
20
+
y2
5
=1
得5x2+8mx+4m2-20=0,…(4分)
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點,
∴△=(8m)2-20(4m2-20)=-16m2+400>0…(6分)
解得-5<m<5.…(7分)
(3)假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意,
當(dāng)MA⊥AB時,直線MA的方程為y-1=-(x-4),即y=-x+5.
y=-x+5
x2
20
+
y2
5
=1
得x2-8x+16=0,解得
x=4
y=1

故A(4,1),與點M重合,不合題意.
同理,當(dāng)MB⊥AB時,也不合題意.…(9分)
當(dāng)MA⊥MB時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由(2)得x1+x2=-
8m
5
x1x2=
4m2-20
5
,
y1+y2=x1+x2+2m,y1•y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.…(10分)
MA
=(x1-4,y1-1)
,
MB
=(x2-4,y2-1)

MA
MB
=(x1-4)(x2-4)+(y1-1)(y2-1)
…(11分)
=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-(y1+y2)+1
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)+m2-2m+17
=2•
4m2-20
5
+(m-5)(-
8m
5
)+m2-2m+17

=
40m-40
5
+m2-2m+17
=m2+6m+9.…(13分)
MA
MB
=0
,
∴m2+6m+9=0,
解得m=-3∈(-5,5),
綜上所述,存在實數(shù)m=-3使△ABM為直角三角形.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,焦距為2,F(xiàn)為右焦點,B1為下頂點,B2為上頂點,SB1FB2=1
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l同時滿足下列三個條件:①與直線B1F平行;②與橢圓交于兩個不同的點P、Q;③S△POQ=
2
3
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的弦AB被點M(x0,y0)平分,設(shè)直線AB的斜率為k1,直線OM(O為坐標(biāo)原點)的斜率為k2,則k1•k2=( 。
A.4B.
1
4
C.-1D.-
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點P(x0,y0)是橢圓C:
x2
5
+y2=1
上的一點.F1、F2是橢圓C的左右焦點.
(1)若∠F1PF2是鈍角,求點P橫坐標(biāo)x0的取值范圍;
(2)求代數(shù)式
y20
+2x0
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文)已知橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的一條弦的中點為P(4,2),求此弦所在直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周長為12,動點A的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)P、Q為E上兩點,
OP
OQ
=0
,過原點O作直線PQ的垂線,垂足為M,證明|OM|為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)F1、F2為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的兩個焦點,P為橢圓上一點,已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,則
|PF1|
|PF2|
的值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A、B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使△ABP的面積最大,并求這個最大面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(0,4),離心率為
3
5

(1)求C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長度.

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同步練習(xí)冊答案