分析 (1)根據(jù)局部對(duì)稱點(diǎn)的定義,結(jié)合已知中二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可證明得結(jié)論;
(2)若函數(shù)f(x)=2x+c在定義域[-1,2]內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),則方程2x+2-x+2c=0在區(qū)間[-1,2]上有解,解得實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)=4x-m•2x+1+m2-3在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),則方程(4x+4-x)-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0(*)在R上有解,解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答 證明:(1)由f(x)=ax2+bx-a得f(-x)=ax2-bx-a
代入f(-x)+f(x)=0得,(ax2+bx-a)+(ax2-bx-a)=0,
得到關(guān)于x的方程ax2-a=0(a≠0),
其中△=4a2,由于a∈R且a≠0,所以△>0恒成立
所以函數(shù)f(x)=ax2+bx-a(a≠0)必有局部對(duì)稱點(diǎn)…5分
(2)方程2x+2-x+2c=0在區(qū)間[-1,2]上有解,于是-2c=2x+2-x
設(shè)t=2x(-1≤x≤2),$\frac{1}{2}≤t≤4$,$-2c=t+\frac{1}{t}$其中$2≤t+\frac{1}{t}≤\frac{17}{4}$
所以$-\frac{17}{8}≤c≤-1$…10分
(3)f(-x)=4-x-m•2-x+1+m2-3,
由于f(-x)+f(x)=0,所以4-x-m•2-x+1+m2-3=-(4x-m•2x+1+m2-3)
于是(4x+4-x)-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0(*)在R上有解
令2x+2-x=t(t≥2),則4x+4-x=t2-2,
所以方程(*)變?yōu)閠2-2mt+2m2-8=0在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)有解,需滿足條件:$\left\{\begin{array}{l}△=4{m^2}-8({{m^2}-4})≥0\\ \frac{{2m+\sqrt{4({8-{m^2}})}}}{2}≥2\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$,
化簡(jiǎn)得$1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$…16分.
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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