Question

16．已知圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=1，過直線l：3x+ay-5=0（a＞0）上的任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為$\sqrt{15}$，則直線l的斜率為$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標和半徑，把過直線l：3x+ay-5=0（a＞0）上的任意一點作圓C的切線，切線長最小轉化為圓心到直線l的距離最小，利用點到直線的距離公式得答案．

解答 解：如圖，由（x-3）²+（y-4）²=1，得圓心坐標為（3，4），

要使切線長最小，即圓心到直線l：3x+ay-5=0（a＞0）的距離最小，
∵圓的半徑為1，切線長為$\sqrt{15}$，
∴圓心到直線l：3x+ay-5=0（a＞0）的距離等于$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{15}）^{2}}=4$．
再由$\frac{|3×3+4a-5|}{\sqrt{9+{a}^{2}}}=4$，解得：a=4．
此時直線l的斜率為$-\frac{3}{a}=-\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了圓的切線方程，考查了直線和圓的位置關系，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．