Question

已知函數：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[1，2]，若函數在區(qū)間（a，3）上有最值，
求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對f（x）求導，，分a＞0，a＜0兩種情況寫出函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）對函數g（x）求導得g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，根據g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，得到g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調函數，從而得到，另由對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分離參數即可求得實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且，（2分）
當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；（6分）
（Ⅱ），∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，
∴g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調函數，
又（9分）
由題意知：對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴，因為a∈[1，2]，所以∴，
對任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴∴（12分）
點評：此題是個中檔題．考查利用導數研究函數的單調性和最值問題，體現了對分類討論和化歸轉化數學思想的考查，特別是問題（II）的設置很好的考查學生對題意的理解與轉化，創(chuàng)造性的分析問題、解決問題的能力和計算能力．