【題目】如圖甲所示,是梯形的高,,,先將梯形沿折起如圖乙所示的四棱錐,使得.

1)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

2)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線所成的角最小時(shí),求二面角的余弦值.

【答案】(1)存在點(diǎn),使得平面,此時(shí),詳見(jiàn)解析(2)

【解析】

1)過(guò),作,連接,易得平面,平面,從而得到平面平面,所以得到平面,而此時(shí)根據(jù)幾何關(guān)系可以得到;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,,表示出所成角為的余弦值,并求出最小時(shí)的值,從而得到各點(diǎn)坐標(biāo),再求出平面和平面的法向量,根據(jù)兩個(gè)法向量之間的夾角公式,求得答案.

:1)存在點(diǎn),使得平面,此時(shí),理由如下:

依題,,,

,

所以,

因?yàn)?/span>,平面,平面,

所以平面,

所以,所以,

過(guò),作,連接,

因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

,所以有

,平面,平面,

所以平面

,平面,平面,

所以平面

平面,,

所以平面平面,

平面

所以平面.

故存在點(diǎn),使得平面,此時(shí)

2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,

設(shè)

,所以,

設(shè)直線所成角為

,則,

,則,

當(dāng)時(shí),取最大值,

此時(shí)直線所成的角最小.此時(shí).

所以,又因?yàn)?/span>,,

所以,

設(shè)平面法向量分別為

,即

得平面的法向量為,

設(shè)平面法向量為

,即

得平面法向量為

所以

由圖可知,二面角為鈍二面角,則其余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:顧客通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[01]之間的均勻隨機(jī)數(shù),并按如右所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示中獎(jiǎng),則該顧客中獎(jiǎng);若電腦顯示謝謝,則不中獎(jiǎng),求顧客中獎(jiǎng)的概率.

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