(2012•湖南模擬)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)E(0,1),問(wèn)是否存在直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且|ME|=|NE|?若存在,求出k的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為
2
2
,可求a,c的值,從而b2=a2-c2=2,進(jìn)而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l:y=kx+m,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為F(x0,y0),根據(jù)|ME|=|NE|,可得
y0-1
x0
•k=-1(x0≠0)
,考慮k=0與k≠0情形,由直線(xiàn)方程代入橢圓方程,確定中點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合判別式,即可確定斜率k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)…(1分)
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2.…(2分)
又離心率為
2
2
,所以c=
2
,…(3分)
所以b2=a2-c2=2…(4分)
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
2
=1
…(5分)
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l:y=kx+m,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為F(x0,y0),
因?yàn)閨ME|=|NE|,所以MN⊥EF,所以
y0-1
x0
•k=-1(x0≠0)
…①
(i)k=0,顯然直線(xiàn)y=m(-
2
<m<
2
)符合題意;
(ii)下面僅考慮k≠0情形:
由直線(xiàn)方程代入橢圓方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
由△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,可得4k2+2>m2…②…(7分)
則x0=
x1+x2
2
=-
2km
1+2k2
,y0=kx0+m=
m
1+2k2
.…(8分)
代入①式得
m
1+2k2
-1
-
2km
1+2k2
•k=-1
,解得m=-1-2k2…(11分)
代入②式得4k2+2>-1-2k2,得-
2
2
<k<
2
2
(k≠0)

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線(xiàn)l,其斜率k的取值范圍是(-
2
2
,
2
2
)…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程,確定中點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)

(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)記φ(x)=f′(x-1)-k(x-1),若函數(shù)φ(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:φ′(
x1+x2
2
)>0

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(2012•湖南模擬)已知向量
m
=(2cos2x,
3
),
n
=(1,sin2x)
,函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=3,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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(2012•湖南模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f″(x),若在區(qū)間(a,b)上的f″(x)<0恒成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
,若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足|m|≤2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x<-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x>
1
2
)
(x∈R),
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命題p:關(guān)于x的不等式f(x)≥m2+2m-2對(duì)任意x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=(m2-1)x是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2012•湖南模擬)設(shè)曲線(xiàn)y=xn+1(n∈N)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013

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