如圖,A(-1,0),B(1,0),過曲線C1:y=x2-1(|x|≥1)上一點M的切線l,與曲線也相切于點N,記點M的橫坐標為t(t>1).
(1)用t表示m的值和點N的坐標;
(2)當實數(shù)m取何值時,∠MAB=∠NAB?并求此時MN所在直線的方程.
【答案】分析:(1)依題意可表示出切線的方程整理后代入C2的方程整理求得m和t的關系式,利用判別式等于0求得m=0或m和t的關系式,先看當m=0時,代入上式判斷出不符合題意;進而看m=(t2-1)2,代入上式,滿足條件,最后可得m的表達式及N的坐標.
(2)表示出直線AM和AN的斜率,若∠MAB=∠NAB,則kAM=-kAN,求得t,進而根據(jù)(1)中m和t的關系式,求得m,進而求得M,N的坐標,利用兩點式求得MN所在直線的方程.
解答:解:(1)切線l:y-(t2-1)=2t(x-t),即y=2tx-t2-1,
代入,
化簡并整理得(m+4t2)x2-4t(t2+1)x+(t2+1)2-m=0,(*)
由△=16t2(t2+1)2+4(m+4t2)[m-(t2+1)2]=4m[m-(t2-1)2]=0
得m=0或m=(t2-1)2
若m=0,代入(*)式得,與已知|xN|<1矛盾;
若m=(t2-1)2,代入(*)式得滿足條件,
,
綜上,m=(t2-1)2,點N的坐標為
(2)因為,,
若∠MAB=∠NAB,則kAM=-kAN,即t=2,此時m=9,
故當實數(shù)m=9時,∠MAB=∠NAB.
此時kAM=1,kAN=-1,∠MAB=∠NAB=45°,
易得M(2,3),,
此時MN所在直線的方程為y=4x-5.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生分析問題的能力,推理計算能力,知識的綜合問題.
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m(1-x2)
(|x|<1)
也相切于點N,記點M的橫坐標為t(t>1).
(1)用t表示m的值和點N的坐標;
(2)當實數(shù)m取何值時,∠MAB=∠NAB?并求此時MN所在直線的方程.

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