精英家教網(wǎng)已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為
3
的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若
AF
=4
FB
，則C的離心率為（　　）
A、
6
5
B、
7
5
C、
5
8
D、
9
5
分析：設(shè)雙曲線的有準(zhǔn)線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率可知直線AB的傾斜角，進(jìn)而推|AD|=
1
2
|AB|，由雙曲線的第二定義|AM|-|BN|=|AD|，進(jìn)而根據(jù)
.
AF
=4
.
FB
，求得離心率．
解答：解：設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右準(zhǔn)線為l，
過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
由直線AB的斜率為
3
，
知直線AB的傾斜角為60°
∴∠BAD=60°
|AD|=
1
2
|AB|，
由雙曲線的第二定義有：
|AM|-|BN|=|AD|=
1
e
(|
AF
|-|
FB
|)
=
1
2
|AB|=
1
2
(|
AF
|+|
FB
|)
∴
1
e
•3|
FB
|=
5
2
|
FB
|，∴e=
6
5

故選A．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的定義．解題的關(guān)鍵是利用了雙曲線的第二定義，找到了已知條件與離心率之間的聯(lián)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是
（
2
，
3
）
（
2
，
3
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•寧波模擬）已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：寧波模擬 題型：單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是______．

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