Question

設函數f(x)=

3

6

sinθ•x3+

1

4

cosθ•x2+

1

2

tanθ，其中θ∈[0，

π

2

]，則導數f′（1）的取值范圍是

[

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用求導法則：（xⁿ）′=nx^n-1，以及（C）′=0（C為常數），求出函數f（x）的導函數，把x=1代入導函數，得到導數f′（1）的關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由θ的范圍求出θ+

π

6

的范圍，得到正弦函數的值域，進而得到導數f′（1）的取值范圍．

解答：解：求導得：f′（x）=

3

2

sinθ•x²+

1

2

cosθ•x，
把x=1代入導函數得：f′（1）=

3

2

sinθ+

1

2

cosθ=sin（θ+

π

6

），
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
則導數f′（1）的取值范圍是[

1

2

，1]．
故答案為：[

1

2

，1]

點評：此題考查了導數的運算，正弦函數的值域，兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值，靈活運用求導法則求出函數f（x）的導函數是解本題的關鍵．