Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（a，0）．
（Ⅰ）當a=2時，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（Ⅱ）當a=-1時，求l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值，并求此時直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為

2

r，求出半徑r
和m的值，寫出所求圓的標準方程．
（2）設(shè)弦長分別為d₁，d₂，因為四邊形AECF是矩形，應(yīng)用勾股定理和基本不等式求d₁+d₂的最大值，由d₁，
d₂的值結(jié)合弦長公式求出直線斜率，點斜式寫出直線方程并化為一般式．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓M的半徑為r，由于圓M的兩條切線互相垂直，
故圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為

2

r，
∴

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

，（4分）  解得r=2，且m=±

7

，
∴圓M的方程為(x-1)2+(y±

7

)2=4．（7分）
（Ⅱ）當a=-1時，設(shè)圓C的圓心為C，l₁、l₂ 被圓C所截得弦的中點分別為E，F(xiàn)，弦長分別為d₁，d₂，
因為四邊形AECF是矩形，所以CE²+CF²=AC²=1，即(4-(

d1

2

)2)+(4-(

d2

2

)2)=1，（10分）
從而d1+d2≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=2

14

，等號成立?d1=d2=

14

，∴d1=d2=

14

時，
∴(d1+d2)max=2

14

，即l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值為2

14

． （13分）
此時d1=

14

，顯然直線l₁的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為：y=k（x+1），
則

|k|

k2+1

=

4-( 14 2 )2

，∴k=±1，∴直線l₁的方程為：x-y+1=0或x+y+1=0．（15分）

點評：本題考查圓的標準方程的求法、直線和圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．