Question

給出下列命題：
①若f'（x₀）=0，則函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值；
②m＞0是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件；
③若f（x）=（x²-8）e^x，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-4，2）；
④A（1，1）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)一定點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，則橢圓上存在點P，使得PA+2PF的最小值為3．
其中為真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)在某點處取極值的條件，可以判斷①的真假；根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們可以判斷②的真假；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)小于0的取值范圍，即可判斷③的真假；根據(jù)橢圓的第二定義，將PA+2PF轉(zhuǎn)化為P點到右準(zhǔn)線的距離，可以判斷④的真假，即可得到答案．

解答：解：若f'（x₀）=0，函數(shù)f（x）在x=x₀處可能取極值，但如果在x₀兩邊單調(diào)性一致，則函數(shù)f（x）在x=x₀處不取極值，故①錯誤；
m＞0且m≠0，是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件，故②錯誤；
若f（x）=（x²-8）e^x，則f′（x）=（x²+2x-8）e^x，當(dāng)x∈（-4，2）時，f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-4，2），故③正確；
A（1，1）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)一定點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，則橢圓上存在點P（

2 6

3

，1），使得PA+2PF的最小值為3，故④正確；
故答案為：③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，橢圓的定義，橢圓的簡單性質(zhì)，其中熟練掌握導(dǎo)數(shù)法，確定函數(shù)的單調(diào)性及極值點的方法，橢圓的性質(zhì)及定義是解答本題的關(guān)鍵．