已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2bx+4,若對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(  )
分析:首先對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值問題,根據(jù)題意對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,對(duì)g(x)的圖象進(jìn)行討論根據(jù)對(duì)稱軸研究g(x)的最值問題,從而進(jìn)行求解;
解答:解:∵函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,(x>0)
∴f′(x)=
1
x
-
1
4
+
-3
4x2
=
4x-x2-3
4x2
=-
(x-1)(x-3)
4x2
,
若f′(x)>0,1<x<3,f(x)為增函數(shù);若f′(x)<0,x>3或0<x<1,f(x)為減函數(shù);
f(x)在x∈(0,2)上有極值,
f(x)在x=1處取極小值也是最小值f(x)min=f(1)=-
1
4
+
3
4
-1=-
1
2
;
∵g(x)=x2-2bx+4=(x-b)2+4-b2,對(duì)稱軸x=b,x∈[1,2],
當(dāng)b≤
3
2
時(shí),g(x)在x=1處取最小值g(x)min=g(1)=1-2b=4=5-2b;
當(dāng)b>
3
2
時(shí),g(x)在[1,2]上是減函數(shù),g(x)min=g(2)=4-4b+4=8-4b;
∵對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,
當(dāng)b≤
3
2
時(shí),-
1
2
≥5-2b,解得b≥
11
4
,故b無(wú)解;當(dāng)b>
3
2
時(shí),-
1
2
≥8-4b,解得b≥
17
8

綜上:b≥
17
8
,
故選C;
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的,此題還涉及函數(shù)的恒成立問題,注意問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題上;
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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