Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a1=

4

3

，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，設(shè)bn=

n

3an

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（I）求S_n；
（II）求

lim

n→∞

Tn的值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，可得3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1），從而可得{

Sn

4n-1

}是公比為1的等比數(shù)列，進而可求
S_n；
（II）將Sn=

4

9

(4n-1)代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，可求數(shù)列{a_n}的通項，利用設(shè)bn=

n

3an

，進而可得數(shù)列{b_n}的通項，由此利用錯位相減法可求T_n，最后可求極限．

解答：解：（I）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．
∴當(dāng)n≥2時，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1）
∴（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1
∴

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，…（2分）
∴{

Sn

4n-1

}是公比為1的等比數(shù)列，
∴

Sn

4n-1

=

S1

3

=

4

9

∴Sn=

4

9

(4n-1)(n∈N*)．…（5分）
（II）將Sn=

4

9

(4n-1)代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，
得an=

4n

3

⇒bn=

n

3an

=

n

4n

．…（7分）
Tn=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n+1

．
∴

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 - 1 4n • 1 4

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

-

1

3•4n

-

n

4n+1

∴Tn=

4

9

-

3n+4

9•4n

．…（10分）
∴

lim

n→∞

 Tn=

4

9

．…（12分）

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項與前n項和，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，同時考查錯位相減法，解題的關(guān)鍵是正確運用數(shù)列遞推式．