【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=4,CB=4,CC1=2,∠ACB=90°,點M在線段A1B1上.
(1)若A1M=3MB1,求異面直線AM和A1C所成角的余弦值;
(2)若直線AM與平面ABC1所成角為30°,試確定點M的位置.
【答案】(1);(2)線段A1B1的中點.
【解析】
試題分析:本題考查用空間向量法解決立體幾何問題,最簡單的方法是建立空間直角坐標(biāo)系,如以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),(1)求得相應(yīng)向量,異面直線AM和A1C所成角的余弦值就是cos〈,
〉的絕對值;(2)先求得平面ABC1的法向量為n,因為點M在線段A1B1上,可設(shè)M(x,4-x,2
),利用法向量n與向量
的夾角(銳角)與直線和平面所成的角互余可得,即由|cos〈n,
〉|=
可求得
,從而確定
的位置.
試題解析:方法一 (坐標(biāo)法)
以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(4,0,0),A1(4,0,2),B1(0,4,2
).
(1)因為A1M=3MB1,所以M(1,3,2).
所以=(4,0,2
),
=(-3,3,2
).
所以cos〈,
〉=
=-
.
所以異面直線AM和A1C所成角的余弦值為.
(2)由A(4,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,2),
知=(-4,4,0),
=(-4,0,2
).
設(shè)平面ABC1的法向量為n=(a,b,c),
由得
令a=1,則b=1,c=,
所以平面ABC1的一個法向量為n=(1,1,).
因為點M在線段A1B1上,所以可設(shè)M(x,4-x,2),
所以=(x-4,4-x,2
).
因為直線AM與平面ABC1所成角為30°,
所以|cos〈n,〉|=sin 30°=
.
由|n|=|n||
||cos〈n,
〉|,得
|1 (x-4)+1
(4-x)+
2
|
=2,
解得x=2或x=6.
因為點M在線段A1B1上,所以x=2,
即點M(2,2,2)是線段A1B1的中點.
方法二 (選基底法)
由題意得CC1⊥CA,CA⊥CB,CC1⊥CB,取,
,
作為一組基底,
則有||=|
|=4,|
|=2
,
且=
=
=0.
(1)由=3
,則
=
=
=
-
,
∴=
+
=
+
-
,
且||=
=-
-
,且|
|=2
,
∴=4
∴cos〈,
〉=
=
.
即異面直線AM與A1C所成角的余弦值為.
(2)設(shè)A1M=λA1B1,則=
+λ
-λ
.
又=
-
,
=
-
,
設(shè)面ABC1的法向量為n=x+y
+z
,
則=8z-16x=0,
=16y-16x=0,
不妨取x=y=1,z=2,
則n=+
+2
且|n|=8,
||=
,
=16,
又AM與面ABC1所成的角為30°,則應(yīng)有
=
=
,
得λ=,即M為A1B1的中點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)市場調(diào)查,某門市部的一種小商品在過去的20天內(nèi)的日銷售量(件)與價格(元)均為時間(天)的函數(shù),且日銷售量近似滿足函數(shù)
(件),而且銷售價格近似滿足于
(元).
(1)試寫出該種商品的日銷售額與時間
的函數(shù)表達式;
(2)求該種商品的日銷售額的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓
內(nèi)一個定點,
是圓上任意一點.線段
的垂直平分線和半徑
相交于點
.
(Ⅰ)當(dāng)點在圓上運動時,點
的軌跡
是什么曲線?并求出其軌跡方程;
(Ⅱ)過點作直線
與曲線
交于
、
兩點,點
關(guān)于原點
的對稱點為
,求
的面積
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(Ⅰ)證明PA//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)設(shè)函數(shù),若方程
只有一個實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若存在,使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域為
,求實數(shù)
的取值范圍.
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