Question

某校高三某班在一次體育課內進行定點投籃賽，A、B為兩個定點投籃位置，在A處投中一球得2分，在B處投中一球得3分．學生甲在A和B處投中的概率分別是

1

2

和

1

3

，且在A、B兩處投中與否相互獨立．
（1）若學生甲最多有2次投籃機會，其規(guī)則是：按先A后B的次序投籃．只有首先在A處投中后才能到B處進行第二次投籃．否則中止投籃，試求他投籃所得積分ξ的分布列和期望Eξ；
（2）若學生甲有5次投籃機會，其規(guī)則是：投籃點自由選擇，共投籃5次，投滿5次后中止投籃，求投滿5次時的積分為9分的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知隨機變量ξ表示他投籃所得積分，由題意可得ξ的所有可能值為：0，2，5，利用隨機變量的定義及獨立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（2）設“學生甲投滿5次時的積分為9分”為事件C；“在A處投4球中3次，在B處投一球中1次”為事件A₁，“在A處投3球中3次，在B處投2球中1次“為事件A₂，
“在A處投2球中0次，在B處投3球中3次”為事件A₃，“在A處投1球中0次，在B處投4球中3次“為事件A₄，“在B處投5球中3次”為事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅為互斥事件的概率公式即可求得．

解答：解：（1）由題意可知隨機變量ξ表示他投籃所得積分，由題意可得ξ的所有可能值為：0，2，5．
P（ξ=0）=1-

1

2

=

1

2

，P（ξ=2）=

1

2

×(1-

1

3

)=

1

3

，P（ξ=5）=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
所以隨機變量ξ的分布列如下表：

所以隨機變量期望Eξ=0×

1

2

+2×

1

3

+3×

1

6

=

3

2

；
（2）設“學生甲投滿5次時的積分為9分”為事件C；“在A處投4球中3次，在B處投一球中1次”為事件A₁，“在A處投3球中3次，在B處投2球中1次“為事件A₂，
“在A處投2球中0次，在B處投3球中3次”為事件A₃，“在A處投1球中0次，在B處投4球中3次“為事件A₄，“在B處投5球中3次”為事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅為互斥事件，則
P（C）=P（A₁+A₂+A₃+A₄+A₅）=

C

3 4

×(

1

2

)3+(1-

1

2

)×

1

3

+

C

3 3

×  (

1

2

)3 ×

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)+

C

0 2

 ×(1-

1

2

)2×

C

3 3

×(

1

3

)3+(1-

1

2

)×

C

3 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=

88

243

．

點評：此題考查了離散型隨機變量的定義及獨立事件的概率公式，還考查了隨機變量的分布列及期望，另外還考查了互斥事件的概率公式及學生的計算能力．