Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

1

2

[f(x1)+f(x2)]=c（c為常數(shù)）成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上的均值為c．下列4個(gè)函數(shù)：①y=4sinx，②y=x³，③y=lgx，④y=2^x．則滿(mǎn)足在其定義域上的均值為2的所有函數(shù)的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：函數(shù)①y=4sinx，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，不成立．
②y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一x2=

3	4- x 3 1

的，即可得到成立．
③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．
④y=2^x，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：①y=4sinx，明顯不成立，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，存在無(wú)窮個(gè)的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不滿(mǎn)足條件
②y=x³，取任意的x₁∈R，由

f(x1)+f(x2)

2

=2，解得x2=

3	4- x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故滿(mǎn)足條件．
③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．
④y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對(duì)于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理和判斷能力．綜合性較強(qiáng)．