已知圓2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M,B為該圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線BM 與直線l:x+y-9=0 相交于點(diǎn)A時(shí),圓上總存在點(diǎn)C使∠BAC=45°.
(1)當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4時(shí),求直線AC的方程;
(2)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)圓與直線的方程可知:M(2,2),A(4,5),kAM=
3
2
,設(shè)直線AC的斜率為k,則有
|k-
3
2
|
|1+
3
2
k|
=1
,解得k從而求得直線AC的方程;
(2)將圓的方程化為(x-2)2+(y-2)2=(
34
2
2,設(shè)A(a,9-a)①當(dāng)a≠2時(shí),把∠BAC看作AB到AC的角,又點(diǎn)C在圓M上,由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑,即
|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|
25+(2a-9)2
34
2
求解.②當(dāng)a=2時(shí),則A(2,7)與直線x=2成45°角的直線有y-7=x-2,M到它的距離d=
5
2
2
34
2
,這樣點(diǎn)C不在圓M上不成立.
解答:解:(1)依題意M(2,2),A(4,5),kAM=
3
2
,
設(shè)直線AC的斜率為k,則
|k-
3
2
|
|1+
3
2
k|
=1

解得k=-5或k=
1
5
,
故所求直線AC的方程為5x+y-25=0或x-5y+21=0;

(2)圓的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=(
34
2
2,設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a.
則縱坐標(biāo)為9-a;
①當(dāng)a≠2時(shí),kAB=
7-a
a-2
,設(shè)AC的斜率為k,把∠BAC看作AB到AC的角,
則可得k=
5
2a-9
,直線AC的方程為y-(9-a)=
5
2a-9
(x-a)
即5x-(2a-9)y-2a2+22a-81=0,
又點(diǎn)C在圓M上,
所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑,
|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|
25+(2a-9)2
34
2
,
化簡得a2-9a+18≤0,
解得3≤a≤6;
②當(dāng)a=2時(shí),則A(2,7)與直線x=2成45°角的直線為y-7=x-2
即x-y+5=0,M到它的距離d=
|2-2+5|
2
=
5
2
2
34
2
,
這樣點(diǎn)C不在圓M上,
還有x+y-9=0,顯然也不滿足條件,
綜上:A點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍為[3,6].
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及方程的應(yīng)用,還涉及了直線中的到角公式,點(diǎn)到直線的距離等,考查計(jì)算能力.
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(1)當(dāng)A的橫坐標(biāo)為4時(shí),求直線AC的方程;
(2)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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