Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E為BC中點
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）證明：AB⊥A₁C．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁B，使A₁B∩AB₁=O，連結(jié)EO，由已知可證明EO∥A₁C，又因為EO?平面AB₁E，A₁C?平面AB₁E，即可判定A₁C∥平面AB₁E．
（Ⅱ）取AB中點F，連結(jié)CF，A₁F，先證明A₁F⊥AB，由CA=CB可證明CF⊥AB，由CF∩A₁F=F，可證明AB⊥面CFA₁，從而可證明AB⊥A₁C．

解答： （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁B，使A₁B∩AB₁=O，連結(jié)EO，
因為ABB₁A₁為平行四邊形，所以O(shè)為A₁B中點，
又因為E為BC中點，所以EO∥A₁C，
又因為EO?平面AB₁E，
A₁C?平面AB₁E，
所以，A₁C∥平面AB₁E；…（6分）
（Ⅱ）取AB中點F，連結(jié)CF，A₁F，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，∴△BAA₁是正三角形，
∴A₁F⊥AB，∵CA=CB，∴CF⊥AB，
∵CF∩A₁F=F，∴AB⊥面CFA₁，
∴AB⊥A₁C． …（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力，屬于基本知識的考查．