Question

如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，點(diǎn)D在OA的延長線上，且OD=2，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

OP

=α

OC

+β

OD

（α，β∈R），則α+β的最大值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：因?yàn)槭钦�方形，所以可考慮建立平面直角坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，這時(shí)候可求出

OC

=(0，1)，

OD

=(2，0)，所以設(shè)P（x，y），所以根據(jù)已知條件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到α+β=

1

2

x+y，這樣求

1

2

x+y的最大值即可．而x，y的取值范圍便是△BCD上及其內(nèi)部，所以可想著用線性規(guī)劃的知識(shí)求解．所以設(shè)z=

1

2

x+y，y=-

1

2

x+z，所以z表示直線y=-

1

2

x+z在y軸上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通過圖形可看出當(dāng)該直線過B點(diǎn)時(shí)截距最大，所以將B點(diǎn)坐標(biāo)帶入直線方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．

解答： 解：分別以邊OA，OC所在直線為x，y軸建立如圖所實(shí)施平面直角坐標(biāo)系；
則：

OC

=(0，1)，

OD

=(2，0)，設(shè)P（x，y），

OP

=(x，y)；
∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；
∴

x=2β y=α

；
∴α+β=

1

2

x+y；
設(shè)z=

1

2

x+y，則：y=-

1

2

x+z，所以z是直線y=-

1

2

x+z在y軸上的截距；
由圖形可以看出，當(dāng)該直線經(jīng)過B（1，1）點(diǎn)時(shí)，它在y軸的截距z最大，最大為

3

2

；
∴α+β的最大值是

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，利用線性規(guī)劃求最值的方法．