Question

同時具有下列性質：“①對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②圖象關于直線x=

π

3

對稱”的函數可以是（　�。�

• A、f（x）=sin（

  x

  2

  +

  π

  6

  ）
• B、f（x）=sin（2x-

  π

  6

  ）
• C、f（x）=cos（2x-

  π

  6

  ）
• D、f（x）=cos（2x+

  π

  3

  ）

Answer 1

分析：由題意可得：滿足f（x+π）=f（x）恒成立，則此函數是周期函數，并且周期為π．
A、此函數的周期為：T=

2π

1 2

=4π．
B、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且求出函數的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

．
C、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
D、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．

解答：解：由題意可得：若函數滿足：對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立，則此函數是周期函數，并且周期為π．
A、此函數的周期為：T=

2π

1 2

=4π，所以A不正確．
B、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數f（x）=sin（2x-

π

6

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

是函數的一個對稱軸．
C、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數f（x）=cos（2x-

π

6

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

不是函數的一個對稱軸．
D、此函數的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數f（x）=cos（2x-

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

不是函數的一個對稱軸．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角函數的有關性質即三角函數的周期公式與對稱軸的公式，并且加以正確的運算．