Question

【題目】函數f（x）=ln（x+m）﹣nlnx．
（1）當m=1，n＞0時，求函數f（x）的單調減區(qū)間；
（2）n=1時，函數g（x）=（m+2x）f（x）﹣am，若存在m＞0，使得g（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=ln（x+1）﹣nlnx．（x∈（0，+∞））．

f′（x）= ﹣ = ．

①當n=1時，f′（x）= ，此時函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）．

②當0＜n＜1時，由f′（x）＜0，解得 ，∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間為 ．

③當1＜n時，由f′（x）＜0，解得x＞0，∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）．

（2）n=1時，函數g（x）=（m+2x）f（x）﹣am=（m+2x）[ln（x+m）﹣lnx]﹣am，（x＞0）．

由g（x）＞0可得： ＞0，即 ﹣a ＞0，

設 =t＞1．∴（t+1）lnt﹣a（t﹣1）＞0，lnt﹣ ＞0．

令h（t）=lnt﹣ ，（t＞1）．h′（t）= ，h（1）=0．

①a≤2時，t2+2（1﹣a）t+1≥t2﹣2t+1＞0．∴h′（t）＞0，

可得函數h（t）在（1，+∞）上單調遞增．可得h（t）＞h（1）=0．

②a＞2時，h′（t）=0，即t2+2（1﹣a）t+1=0，

解得t1=a﹣1﹣ ，t2=a﹣1+ ，

由t2＞1，t1t2=1，可得t1＜1．∴函數h（t）在（1，t2）上單調遞減，

∴h（t）＜h（1）=0．舍去．

綜上可得：實數a的取值范圍是a≤2．

【解析】（1）利用函數單調性的性質再利用導數與函數單調性的關系列出不等式求解即可。（2）根據題意構造函數h（t）討論該函數的導函數，利用導函數的性質得出當a在不同區(qū)間上時原函數的單調性進而可得出滿足題意的a的取值范圍。
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．