Question

 

已知拋物線(xiàn)和直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)（其中、為常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，且直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).

   （1）求拋物線(xiàn)的方程；

   （2）已知點(diǎn)為原點(diǎn)，連結(jié)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，證明：.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）如圖，設(shè)，

        由，得    ∴的斜率為

        的方程為    同理得

        設(shè)代入上式得，

即，滿(mǎn)足方程

故的方程為  即：   ………………4分

上式可化為，過(guò)交點(diǎn)

∵過(guò)交點(diǎn)，  ∴，

∴的方程為                ………………6分

（2）要證，即證………………7分

     設(shè)，

   則  ……（Ⅰ）

    

     ∵，

     ∴直線(xiàn)方程為，

與聯(lián)立化簡(jiǎn)

     ∴ ……①     ……②  ………11分

     把①②代入（Ⅰ）式中，則分子

    

         …………（Ⅱ）

     又點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴代入（Ⅱ）中得：                          

     ∴    

得證                            ………………………………14分