Question

已知函數f（x）=x-a^x（a＞O，且a≠1）．
（Ⅰ）當a=3時，求曲線f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）存在最大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數，求出切線斜率，切點坐標，即可求出曲線f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，分類討論，求出函數f（x）存在最大值g（a），再求g（a）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=x-3^x，
∴f′（x）=1-3^xln3，
∴f′（1）=1-3ln3，
∵f（1）=-2，
∴曲線f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y+2=（1-3ln3）（x-1），即y=（1-3ln3）x-3+3ln3；
（Ⅱ）f′（x）=1-a^xlna．
①0＜a＜1時，a^x＞0，lna＜0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在R上為增函數，f（x）無極大值；
②a＞1，設f′（x）=0的根為t，則a^t=

1

lna

，即t=

ln 1 lna

lna

，
∴f（x）在（-∞，t）上為增函數，在（t，+∞）上為減函數，
∴f（x）的極大值為f（t）=t-a^t=

ln 1 lna

lna

-

1

lna

，即g（a）=

ln 1 lna

lna

-

1

lna

，
∵a＞1，∴

1

lna

＞0．
設h（x）=xlnx-x，x＞0，則h′（x）=lnx=0得x=1，
∴h（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1，即g（a）的最小值為-1，此時a=e．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．