Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2a2

x

+alnx．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）設(shè)a=1，g（x）=f′（x），問是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)g（x）（均的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)求出f（x）的定義域，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a=0，a大于0和a小于0三種情況令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出相應(yīng)的x的解，即可單調(diào)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）把a(bǔ)=1代入f（x）的導(dǎo)函數(shù)確定出g（x），假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得g（x）的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于k，可設(shè)在定義域內(nèi)任意的兩個(gè)自變量x，利用斜率的計(jì)算方法表示出斜率，并大于等于k，去分母變形，然后設(shè)h（x）=g（x）-kx，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，解出k小于等于一個(gè)函數(shù)恒成立，令t=

1

x

，設(shè)這個(gè)函數(shù)為F（t），求出F（t）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出相應(yīng)的t的值，在定義域內(nèi)由t的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最小值，讓k小于等于求出的最小值即可得到k的取值范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=x+

2a2

x

+alnx，∴f′（x）=1-

2a2

x2

+

a

x

=

(x+2a)(x-a)

x2

，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=1＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞a，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞-2a，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-2a，+∞）．
（II）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=1-

2

x2

+

1

x

，假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得g（x）的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于k，
即對(duì)任意x₂＞x₁＞0，都有

g(x2)-g( x1)

x2-x1

≥k，亦即g（x₂）-kx₂≥g（x₁）-kx₁，
可設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-kx=1-

2

x2

+

1

x

-kx（x＞0），
故問題等價(jià)于h′（x）=

4

x3

-

1

x2

-k≥0，即k≤

4

x3

-

1

x2

對(duì)x＞0恒成立，
令t=

1

x

，則F（t）=4t³-t²（t＞0），所以F′（t）=12t²-2t，
令F′（t）=0，解得t=0（舍去）或t=

1

6

，
當(dāng)t變化時(shí)，F(xiàn)（t）與F′（t）的變化情況如下表：

故知F（t）在（0，

1

6

）內(nèi)單調(diào)遞減，在（

1

6

，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t=

1

6

時(shí)，F(xiàn)（t）取得最小值，且最小值為-

1

108

，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（

1

x

）=

4

x3

-

1

x2

≥-

1

108

，當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)，
故k的取值范圍是（-∞，-

1

108

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想，是一道中檔題．