【題目】已知函數(shù)且
).
(1)判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)時,若不等式
對于
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時,
在
上是減函數(shù),當(dāng)
時,
在
上是增函數(shù),證明見解析;(2)
.
【解析】
(1)對函數(shù)進(jìn)行變形,分類討論即可得到單調(diào)性;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對于
恒成立,即可求解.
(1)
當(dāng)時,
在
上是減函數(shù),
當(dāng)時,
在
上是增函數(shù).
證明如下:
任取,
則
因為,所以
,
,
所以,
所以當(dāng)時,
,
,
所以,故函數(shù)
在
上是減函數(shù).
所以當(dāng)時,
,
所以,所以
,
故函數(shù)在
上是增函數(shù).
(2)易知是奇函數(shù),
,
即.
當(dāng)時,由(1)知,
在
上是減函數(shù),
從而在上是減函數(shù),故
對
恒成立,
即對
恒成立.
因為在
上是減函數(shù),
所以的值域為
.
所以,故
的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動”是一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶只需以運(yùn)動手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動數(shù)據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號,就能看見自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人,記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù)/步 | 10000以上 | ||||
男生人數(shù)/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人數(shù)/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極性”,否則為“懈怠性”.
(1)填寫下面列聯(lián)表(單位:人),并根據(jù)列表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“評定類型與性別有關(guān)”;
積極性 | 懈怠性 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)為了進(jìn)一步了解“懈怠性”人群中每個人的生活習(xí)慣,從步行數(shù)在的人群中再隨機(jī)抽取3人,求選中的人中男性人數(shù)超過女性人數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若整數(shù)、
既不互素,又不存在整除關(guān)系,則稱
、
為一個“聯(lián)盟”數(shù)對.設(shè)
為集
的
元子集,且
中任兩數(shù)均為聯(lián)盟數(shù)對.求
的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若函數(shù)在
處的切線與直線
平行,求實數(shù)
的值;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間
上的最大值;
(3)若時,函數(shù)
恰有兩個零點
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列,
中,已知
,
,且
,
,
成等差數(shù)列,
,
,
也成等差數(shù)列.
求證:
是等比數(shù)列;
設(shè)m是不超過100的正整數(shù),求使
成立的所有數(shù)對
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)將某校高二年級某班的學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)成績分為、
、
、
、
五組,繪制而成的莖葉圖、頻率分布直方圖如下,由于工作疏忽,莖葉圖有部分被損壞,頻率分布直方圖也不完整,請據(jù)此解答如下問題:(注:該班同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在區(qū)間
內(nèi))
(1)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整.
(2)該班希望組建兩個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)互助小組,班上數(shù)學(xué)成績最好的兩位同學(xué)分別擔(dān)任兩組組長,將此次成績低于60分的同學(xué)作為組員平均分到兩組,即每組有一名組長和兩名成績低60分的組員,求此次考試成績?yōu)?/span>52分、54分和98分的三名同學(xué)分到同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C經(jīng)過A(5,3),B(4,4)兩點,且圓心在x軸上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l過點(5,2),且被圓C所截得的弦長為6,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公差不為零的等差數(shù)列中,
,
,
成等比數(shù)列,且該數(shù)列的前10項和為100,數(shù)列
的前n項和為
,且滿足
.
Ⅰ
求數(shù)列
,
的通項公式;
Ⅱ
令
,數(shù)列
的前n項和為
,求
的取值范圍.
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