Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式求得切點和切線斜率，從而得到切線方程；（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)性由的符號決定；分別在、兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）通過變量遷移可將問題變?yōu)?/span>在上恒成立的問題；由與的符號易判斷；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負可知時滿足題意；而當時，由于存在使得，從而可知時，不等式不成立；由此總結(jié)可得結(jié)果.

（Ⅰ）當時，

，

函數(shù)在點處的切線方程為

（Ⅱ）由題意，

（�。┊�時，

令，得；，得

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

（ⅱ）當時，

令，得；，得或

所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減

（Ⅲ）令，

當時，，單調(diào)遞增，則

則對恒成立等價于

即，對恒成立.

（�。┊�時，，，

此時，不合題意，舍去

（ⅱ）當時，令，

則

其中對，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增

①當時，

所以對，，則在上單調(diào)遞增

故對任意，

即不等式在上恒成立，滿足題意

②當時，由

又且在區(qū)間上單調(diào)遞增

所以存在唯一的使得，且時，

即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

則時，，即，不符合題意

綜上所述，