Question

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADMN都為正方形，AN⊥AB，F為線段BN的中點，E為線段BC上的動點．
（Ⅰ）當E為線段BC中點時，求證：NC∥平面AEF；
（Ⅱ）求證：平面AEF⊥BCMN平面；
（Ⅲ）設

BE

BC

=λ，寫出λ為何值時MF⊥平面AEF（結論不要求證明）．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出NC∥EF，由此能證明NC∥平面AEF．
（Ⅱ）由已知條件推導出AD⊥平面NAB，從而得到AD⊥AF，BC⊥AF，再由AF⊥NB，推導出AF⊥平面BCMN，由此能證明平面AEF⊥平面BCMN．
（Ⅲ）利用直線與平面垂直的判定定理，結合題設條件得到λ=

1

2

時，MF⊥平面AEF．

解答： （Ⅰ）證明：∵F為線段NB的中點，E為線段BC中點，
∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，
∴NC∥平面AEF．（4分）
（Ⅱ）證明：四邊形ABCD與四邊形ADMN都為正方形，
∴AD⊥NA，AD⊥AB，
NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，
AF?平面NAB，故AD⊥AF，
AD∥BC，∴BC⊥AF，
由題意NA=AB，F為線段NB的中點，
∴AF⊥NB，
NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，
∵AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）
（Ⅲ）解：λ=

1

2

時，MF⊥平面AEF．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的實數值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．