13．計(jì)算：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$．

分析 先對原式的分子、分母分別求和，用到等比數(shù)列的求和公式，再取極限．

解答 解：先對該式的分子，分母分別求和，
觀察可知，分子，分母都是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，
分子=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3^n}$）；
分母=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{2^n}$），
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3（1-\frac{1}{3^n}）}{4（1-\frac{1}{2^n}）}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)列極限的求法，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題．

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相關(guān)習(xí)題

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14．化簡．
（1）sin（6π+α）；
（2）cos（-4π+α）；
（3）tan（180°-α）．

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4．若函數(shù)f（x）=x3+ax2-2x+5在區(qū)間（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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1．用極限定義證明：$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{1}{x}$=0．

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8．極限$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}{\sum_{i=1}^{n}e}^{\frac{i}{n}}$的值為e-1．

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18．${∫}_{-2}^{-1}$（$\sqrt{-{x}^{2}-2x}$+x2）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$．

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5．已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）
（1）如圖，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，設(shè)A，B，C是函數(shù)f（x）=logax的圖象上的三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+2，t+4（t≥1），記△ABC的面積為S，求S=g（t）的解析式，并求S=g（t）的最大值；
（2）試比較$\frac{1}{2}$f（x）與f（$\frac{x+1}{2}$）的大�。�
（3）當(dāng)a=10時，設(shè)F（x）=|f（x）|，且滿足F（x）=F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）（0＜x＜t），問是否存在實(shí)數(shù)t，使得3＜t＜4．

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2．若$f（x）={x^2}+2\int_0^1{f（x）dx，}$則$\int_0^1{f（x）dx=}$-$\frac{1}{3}$．

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3．函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；f（x）的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的$\frac{1}{2}$后得函數(shù)y=g（x）的圖象，則g（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z．

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