Question

【題目】在平面直角坐標系中，

已知圓和圓.

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，

求直線的方程；（2）設P為平面上的點，滿足：

存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，

它們分別與圓和圓相交，且直線被圓

截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。

Answer 1

【答案】(1)或，(2)P在以C1C2的中垂線上，且與C1、C2等腰直角三角形，利用幾何關系計算可得點P坐標為或。

【解析】

(1)設直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結合點到直線距離公式，得＝1，化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.

所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)設點P坐標為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.

因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，

化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.

因為關于k的方程有無窮多解，所以有

解得點P坐標為或.