Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）（a∈R）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求a的值；
（3）若函數(shù)g（x）=x-2^f（x）-2t有兩個不同的零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)函數(shù)的定義即可求出函數(shù)的定義域，
（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求出a的值，
（3）解法一：根據(jù)函數(shù)零點定理可得關(guān)于t的方程組，解得即可，解法二：分別作出函數(shù)y=x²+x-1（-1＜x＜1）和y=2t的圖象，由圖象可得．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}}\right.$解得-1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）依題意，可知f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），即log₂（1-x）+alog₂（1+x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x），
即（a-1）[log₂（1+x）-log₂（1-x）]=0，即$（a-1）{log_2}\frac{1+x}{1-x}=0$在（-1，1）上恒成立，所以a=1．
（3）解法一：由（2）可知$f（x）={log_2}（1+x）+{log_2}（1-x）={log_2}（1-{x^2}）$，
所以g（x）=x²+x-1-2t，它的圖象的對稱軸為直線$x=-\frac{1}{2}$．
依題意，可知g（x）在（-1，1）內(nèi)有兩個不同的零點，
只需$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）=-1-2t＞0}\\{g（{-\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{4}-2t＜0}\\{g（1）=1-2t＞0}\end{array}}\right.$，解得$-\frac{5}{8}＜t＜-\frac{1}{2}$．
所以實數(shù)t的取值范圍是$（{-\frac{5}{8}，-\frac{1}{2}}）$．
解法二：由（2）可知$f（x）={log_2}（1+x）+{log_2}（1-x）={log_2}（1-{x^2}）$，
所以g（x）=x²+x-1-2t．
依題意，可知g（x）在（-1，1）內(nèi)有兩個不同的零點，即方程2t=x²+x-1在（-1，1）內(nèi)有兩個不等實根，
即函數(shù)y=2t和y=x²+x-1在（-1，1）上的圖象有兩個不同的交點．
在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y=x²+x-1（-1＜x＜1）和y=2t的圖象，如圖所示．
觀察圖形，可知當(dāng)$-\frac{5}{4}＜2t＜-1$，即$-\frac{5}{8}＜t＜-\frac{1}{2}$時，兩個圖象有兩個不同的交點．
所以實數(shù)t的取值范圍是$（{-\frac{5}{8}，-\frac{1}{2}}）$．

點評 本題以對數(shù)型函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性和定義域，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點定理，屬于中檔題．