Question

中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且

CF1

•

CF2

=2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），

CF1

•

CF2

=4-c²+4=2，解得c=

6

，2a=

(2+ 6 )2+4

+

(2- 6 )2+4

=4

3

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，代入橢圓E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，由此利用根的判斷式、韋達定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程和圓P的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），

CF1

=(-c-2，-2)，

CF2

=（c-2，-2），

CF1

•

CF2

=4-c²+4=2，解得c=

6

，
2a=|CF₁|+|CF₂|=

(2+ 6 )2+4

+

(2- 6 )2+4

=4

3

，
解得a=2

3

，b=

6

，
∴橢圓E的方程：

x2

12

+

y2

6

=1．
（Ⅱ）依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，
代入橢圓E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18，
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-12

3

，
圓P的圓心為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
半徑r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
當(dāng)圓P與y軸相切時，r=|

x1+x2

2

|，則2x1x2=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，m²=9＜18，m=±3，
當(dāng)m=3時，直線l方程為y=-x+3，
此時，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；
同理，當(dāng)m=-3時，直線l方程為y=-x-3，
圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4．

點評：本題考查橢圓方程、直線方程、圓的方程的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．