Question

已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l′的方程.

(1)l′與l平行且過點（－1,3）；

(2)l′與l垂直且l′與兩坐標軸圍成的三角形面積為4；

(3)l′是l繞原點旋轉180°而得到的直線；

(4)l′過點(-3,1)且與l的夾角為

Answer 1

解析：要求直線l′的方程，必須從直線方程的四種基本形式中選擇一種，要考慮已知哪些元素，還缺少什么元素.第（1）題已知l′過點(-1,3),只需求斜率，由于l′∥l,所以l′的斜率等于l的斜率,選取點斜式求解；第（2）題由l′⊥l得到l′的斜率，選用斜截式，分別求出與x、y軸的交點.建立了三角形面積的代數(shù)式（用截距b表示），從而可求出b的值；第（3）題要運用動態(tài)的觀點來求解，實質是l與l′都與圓O：x²+y²=()²相切，旋轉180°后，l與l′是平行的，所以l′可以設為3x+4y-m=0,由圖形可知m＜0,由點到直線的距離求出m的值.另一種方法，也就是l與l′關于原點對稱；第（4）題利用夾角公式求出l′的斜率，再用點斜式求解l′的方程.?

 

(1)直線l:3x+4y-12=0,k_l=-,?

又∵l′∥l,∴k_l′=k_l=-.?

∴直線l′:y=-(x+1)+3,即3x+4y-9=0.?

(2)∵l′⊥l,∴k_l′=.?

設l′與x軸截距為b,則l′與y軸截距為b,?

由題意可知S=b·b=4,?

∴b=±6.?

∴直線l′:y=x+6或y=x-.

(3)∵l′是l繞原點旋轉180°而得到的直線，?

∴l′與l關于原點對稱.?

任取點(x₀,y₀)在l上，則在l′上的對稱點為(x,y).?

x=-x₀,y=-y₀,則-3x-4y-12=0.?

∴l′為3x+4y+12=0.?

(4)=

可解得k_l′=或k_l′=-7.?

∴l′的直線方程為x-7y+10=0或7x-y+22=0.