【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax﹣(m﹣2)ax (a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求m的值;
(2)若f(1)<0,試判斷y=f(x)的單調(diào)性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)<0恒成立的t的取值范圍;
(3)若f(1)= ,g(x)=a2x+a2x﹣2f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.

【答案】
(1)解:f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),

可得f(0)=0,即a0﹣(m﹣2)a0=0,

即3﹣m=0,可得m=3


(2)解:f(1)<0,即a﹣a1<0,

解得0<a<1.

由ax遞減,ax遞增,

可得f(x)=ax﹣ax在R上遞減,

不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)<0,

即為不等式f(x2+tx)<﹣f(4﹣x)=f(x﹣4),

即有x2+tx>x﹣4,即x2+(t﹣1)x+4>0恒成立,

則△=(t﹣1)2﹣16<0,

解得﹣3<t<5.

即t的取值范圍是(﹣3,5)


(3)解:若f(1)= ,即a﹣a1= ,

解得a=2.

則g(x)=22x+22x﹣2(2x﹣2x),

令t=2x﹣2x,由x≥1可得t≥

則函數(shù)y=t2﹣2t+2=(t﹣1)2+1,

且在[ ,+∞)遞增,

可得g(x)在[1,+∞)上的最小值為( ﹣1)2+1=


【解析】(1)由題意可得f(0)=0,解方程可得m=3;(2)由f(1)<0,可得0<a<1,判斷f(x)遞減,不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)<0轉(zhuǎn)化為x2+(t﹣1)x+4>0恒成立,
由判別式小于0,解不等式即可得到t的范圍;(3)f(1)= ,可得a=2,求出g(x)的解析式,令t=2x﹣2x , 由x≥1可得t≥ .可得函數(shù)y=t2﹣2t+2=(t﹣1)2+1,運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性,可得所求最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱才能正確解答此題.

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