Question

10．已知F是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F做直線FA垂直x軸交雙曲線的漸近線于點(diǎn)A，△OAF為等腰直角三角形，則E的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由，△OAF為等腰直角三角形，推出a，b的關(guān)系，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可計(jì)算得到．

解答 解：F是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
過點(diǎn)F做直線FA垂直x軸交雙曲線的漸近線于點(diǎn)A，△OAF為等腰直角三角形，
可得，∠AOF=45°，
雙曲線的漸近線方程為y=±x，
即b=a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．