Question

已知函數(shù)， 在上為增函數(shù)，且，求解下列各題：

（1）求的取值范圍；

（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）； （3）

【解析】

試題分析：（1）在上為增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立.由于分母恒大于0，故在上恒成立，而這只需 的最小值即可.由此可得的取值范圍；

（2）在上為單調(diào)增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)大于等于0在恒成立，變形得在恒成立.與（1）題不同的是，這里不便求的最小值，故考慮分離參數(shù)，即變形為.這樣只需大于等于的最大值即可.而，所以；

（3）構(gòu)造新函數(shù)＝，這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍．而這只要的最大值大于0即可.

試題解析：（1）∵在上為增函數(shù)

∴在上恒成立，即在上恒成立

又

∴在上恒成立                     2分

只須，即，由有            3分

　　　 ∴                        4分

（2）由（1）問(wèn)得

在上為單調(diào)增函數(shù)

在恒成立                      6分

∴即，而

在恒成立時(shí)有，即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，的范圍為；                       8分

（3）由（1）問(wèn)可知，，可以構(gòu)造新函數(shù)＝               10分

①.當(dāng)時(shí)，，

所以在上不存在一個(gè)，使得成立．        11分

②.當(dāng)時(shí)， 

∵　　　∴，，所以在恒成立．

故在上單調(diào)遞增，

∴只需滿足，解得                13分

故的取值范圍是                      14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式關(guān)系.