Question

（1）已知某圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．將極坐標(biāo)方程化為普通方程；并選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù)寫(xiě)出它的參數(shù)方程．
（2）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=

.

1 1

.

，且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成
（-2，4）．求矩陣M的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知x²+y²-4x-4y+6=0，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程．
（2）設(shè)M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，由此得到M=

6 2 4 4

，從而得到矩陣M的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．

解答：解：（1）∵ρ²-4ρ（cosθ+sinθ）+6=0，
∴x²+y²-4（x+y）+6=0；即x²+y²-4x-4y+6=0（4分）
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴參數(shù)方程為

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α為參數(shù)） （6分）
（2）設(shè)M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，
故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．（10分）
∴M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
∴另一個(gè)特征值為λ=2（12分）
設(shè)M的另一個(gè)特征向量是e2=

x y

，
則Me2=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，
解得：2x+y=0． （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二階矩陣和圓的極坐標(biāo)方程、標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．