Question

已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）該函數(shù)為偶函數(shù)．
由2^x-1≠0解得x≠0即義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱
f（-x）=（）（-x）=-（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）
故該函數(shù)為偶函數(shù)．  
（2）證明：任取x∈{x|x≠0}
當x＞0時，2^x＞2⁰=1且x＞0，
∴2^x-1＞0，
故
從而
當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）＞0，
又因為函數(shù)為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）＞0，
∴f（x）＞0在定義域上恒成立．
分析：（1）由2^x-1≠0解得義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱．f（-x）=（）（-x）=（）x=f（x），故該函數(shù)為偶函數(shù)． 
（2）任取x∈{x|x≠0}，當x＞0時，2^x＞2⁰=1且x＞0，故，從而．當x＜0時，-x＞0，故f（-x）＞0，由函數(shù)為偶函數(shù)，能證明f（x）＞0在定義域上恒成立．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明f（x）＞0．解題時要認真審題，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．