Question

12．如圖，在半徑為30cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上．
（1）設(shè)BC的長度為x，矩形ABCD的面積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當(dāng)BC多少時(shí)，矩形ABCD的面積最大，并求出該最大值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，求出OB，然后求解表達(dá)式．
（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）連結(jié)OC，得$OB=\sqrt{900-{x^2}}$，所以AB=$2\sqrt{900-{x^2}}$，
所以y=$2x\sqrt{900-{x^2}}$，x∈（0，30）…．（8分）
（2）因?yàn)?2x\sqrt{900-{x^2}}≤{x^2}+900-{x^2}=900$．
即x²=900-x²，即x=$15\sqrt{2}$時(shí)取等號，此時(shí)y_max=900…（15分）
答：$BC=15\sqrt{2}$時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大為900cm²…．（16分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．