Question

3．求下列函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間3
（1）f（x）=$\frac{1}{{2}^{x-4}}$；
（2）f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}$．

Answer 1

分析 （1）定義域顯然為R，由2^x-4＞0，便可得出$\frac{1}{{2}^{x-4}}$的范圍，即得出該函數(shù)值域，根據(jù)單調(diào)性的定義容易判斷該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）解-x²-3x+4≥0便可得出f（x）的定義域?yàn)閇-4，1]，由$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$便可得出$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$，從而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可得出f（x）的值域，可設(shè)-x²-3x+4=t，從而看出原函數(shù)是由$y=（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$和t=-x²-3x+4復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)y=$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$為減函數(shù)，從而求函數(shù)t=-x²-3x+4在[-4，1]上的單調(diào)增、減區(qū)間，便可得出f（x）的減、增區(qū)間．

解答 解：（1）定義域?yàn)镽；
2^x-4＞0；
∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}＞0$；
∴f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）；
x增大時(shí)，2^x-4增大，∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}$減��；
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）∴要使f（x）有意義，則：-x²-3x+4≥0；
解得-4≤x≤1；
∴該函數(shù)的定義域?yàn)閇-4，1]；
$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-3x+4≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$；
∴$（\frac{1}{2}）^{\frac{5}{2}}≤（\frac{1}{2}）^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}≤（\frac{1}{2}）^{0}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{8}≤f（x）≤1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{\sqrt{2}}{8}，1$]；
令-x²-3x+4=t，則$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$為減函數(shù)；
∴t=-x²-3x+4在[-4，1]上的減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間，增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間；
∴原函數(shù)的增區(qū)間為$[-\frac{3}{2}，1]$，減區(qū)間為$[-4，-\frac{3}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及其求法，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，配方法求二次函數(shù)的值域，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．