設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸，離心率e=，已知點P(0,)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

思路解析：利用橢圓的參數(shù)方程或范圍，在橢圓上找到與點P的距離為的點，使問題得以突破.

解法一：設橢圓的參數(shù)方程為（其中a＞b＞0，0≤θ＜2π

由e2==1-()2=,得a=2b.

設橢圓上的點（x,y）到點P的距離為d，

由d2=x2+(y-)2=a2cos2θ+(bsinθ-)2=-3b2(sinθ+)2+4b2+3.

如果＞1，即b＜,

那么當sinθ=-1時,d2取得最大值（）2=(b+)2.

由此得b=-＞與b＜矛盾.

因此必有≤1,此時當sinθ=-時,

d2取得最大值()2=4b2+3，

解得b=1,a=2.

所求橢圓的參數(shù)方程是

由sinθ=-,cosθ=±求得橢圓上到點P的距離等于的點是(-,-)與(,-).

解法二：設所求橢圓的方程為+=1（a＞b＞0）,

由e2==1-()2=，解得=.

設橢圓上的點（x,y）到點P的距離為d.

則d2=x2+(y-)2=a2-y2+(y-)2

=-3y2-3y+4b2+=-3(y+)2+4b2+3,其中-b≤y≤b.

如果b＜，則當y=-b時，d2取得最大值()2=(b+)2,

解得b=-＞與b＜矛盾,故必有b≥.

當y=-時d2取得最大值()2=4b2+3，解得b=1,a=2,

所求橢圓方程為+y2=1.

由y=-可求得到點P的距離等于的點的坐標為（±，-）.

方法歸納

    與橢圓有關的最值問題，�？紤]利用參數(shù)方程，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用橢圓的范圍求解，還可以考慮幾何法，特別是直線與橢圓，在相切時取得最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=
3
2
，已知點P（0，
3
2
）到這個橢圓上的點最遠距離是
7
．求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于
7
的點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P(0,)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓的中心是坐標原點,長軸在x軸上,離心率e=,已知點P(0,)到這個橢圓上點的最遠距離為,求這個橢圓方程,并求橢圓上到點P的距離為的點的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是4，求這個橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012年人教A版高中數(shù)學選修1-1 2.1橢圓練習卷（解析版） 題型：解答題

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P（0，）到橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程。

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案