Question

（2012•徐匯區(qū)一模）如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分別是BC，AP的中點．
（1）求異面直線AC與ED所成的角的大�。�
（2）求△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體的體積．

Answer 1

分析：（1）解法一：欲求異面直線所成角，只需平移異面直線中的一條，是它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角，再放入三角形中，通過解三角形求出該角．本題中取AB中點F，連接DF，EF，則AC∥DF，∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．再放入Rt△EFD中來求．
解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標系，把異面直線AC與ED所成的角轉化為向量

AC

，

ED

的夾角，再利用向量的夾角公式計算即可．
（2）△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AD為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面半徑、AE為高的小圓錐，所以只需求出兩個圓錐的體積，再相減即可．

解答：解（1）解法一：取AB中點F，連接DF，EF，則AC∥DF，
所以∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．
由已知，AC=EA=AD=1 ， AB=

3

 ， PB=

7

，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=

1

2

 ， ED=

2

，cos∠EDF=

2

4

．
所以異面直線AC與ED所成的角為arccos

2

4

（arctan

7

)．
解法二：建立空間直角坐標系，C(1 ， 0 ， 0) ， D (

1

2

 ， 

3

2

 ， 0)，E（0，0，1），

AC

=(1 ， 0 ， 0 ) ， 

ED

=(

1

2

 ， 

3

2

 ， -1)
PCDEcosθ=

1 2

2

=

2

4

，
所以異面直線AC與ED所成的角為arccos

2

4

．
（2）△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AD
為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面
半徑、AE為高的小圓錐，體積V=

1

3

π•1•2-

1

3

π•1•1=

1

3

π．

點評：本題主要考查了異面直線所成角的求法，以及組合體體積的求法．