設(shè)數(shù)列{an}滿足:數(shù)學(xué)公式,an>0.
(1)求{an}的表達(dá)式;
(2)將數(shù)列{an}依次按1項(xiàng),2項(xiàng),3項(xiàng)循環(huán)地分為(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7),(a8,a9),(a10,a11,a12),
…,分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b2010的值;
(3)如果將數(shù)列{an}依次按1項(xiàng),2項(xiàng),3項(xiàng),…,m(m≥3)項(xiàng)循環(huán);分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例),并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?

解:(1)當(dāng)n=1時(shí),,解得a1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),,整理得(an+an-1-2)(an-an-1-2)=0,
所以an-an-1=2,或an+an-1=2(不合題意,舍去,否則a2n=0與已知矛盾),
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為2,首項(xiàng)a1=2,從而an=2n.(5分)
(2)數(shù)列{an}依次按1項(xiàng),2項(xiàng),3項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24),,每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào),故b2009是第670組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.
由分組規(guī)律知,b3,b6,b8,,b2010,組成一個(gè)首項(xiàng)為b3=8+10+12=30,公差為d=36的等差數(shù)列.所以b2010=30+(670-1)×36=24114.(10分)
(3)當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí),求bn的值.
數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng),,m項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),,(m2-m+2,m2-m+4,m2-m+6,,m2+m);(m2+m+2)(m2+m+4,m2+m+6),,(2m2+2,2m2+4,,2m2+2m),(2m2+2m+2),
第m組,第2m組,,第km(k∈N*)組的第1個(gè)數(shù),第2個(gè)數(shù),,第m個(gè)數(shù)分別組成一個(gè)等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為m2-m+2,m2-m+4,m2-m+6,,m2+m公差均為m(m+1)
則第m組、第2m組,,第km組,的各數(shù)之和也組成一個(gè)等差數(shù)列,其公差為m2(m+1)
第m組的m個(gè)數(shù)之和為
∴當(dāng)n=km時(shí),bn=bkm=m3+m+(k-1)m2(m+1).(16分)
分析:(1)由:,可用an與Sn的關(guān)系求解;
(2)先由數(shù)列{an}將(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7),(a8,a9),(a10,a11,a12),轉(zhuǎn)化為(2),(4,6),(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24),按照每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)的規(guī)律抽象出b3,b6,b8,,b2010,組成一個(gè)首項(xiàng)為b3,公差為36的等差數(shù)列.
(3)由“提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例)”即研究:當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí),求bn.按照(2)的思路解決.
點(diǎn)評:本題考查通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,由數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列和轉(zhuǎn)化數(shù)列的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=can3+1-c,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù)
(1)證明:an∈[0,1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0,1];
(2)設(shè)0<c<
1
3
,證明:an≥1-(3c)n-1,n∈N*;
(3)設(shè)0<c<
1
3
,證明:
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
>n+1-
2
1-3c
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
(m>0)
,當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設(shè)數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求an的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*其中a,c為實(shí)數(shù),且c≠0
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)a=
1
2
,c=
1
2
,bn=n(1-an),n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅲ)若0<an<1對任意n∈N*成立,求實(shí)數(shù)c的范圍.(理科做,文科不做)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=
5
6
,且an=
1
3
an-1+
1
3
(n∈N*,n≥2)
(1)求證:數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)n∈N*,不等式組
x>0
y>0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,把Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn
(1)求(xn,yn);
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1,an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
),(n≥2)
,求證:n≥2時(shí),
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
;
(3)在(2)的條件下,比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
與4的大小.

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