解:(1)當(dāng)n=1時(shí),
,解得a
1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),
,整理得(a
n+a
n-1-2)(a
n-a
n-1-2)=0,
所以a
n-a
n-1=2,或a
n+a
n-1=2(不合題意,舍去,否則a
2n=0與已知矛盾),
∴數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,且公差為2,首項(xiàng)a
1=2,從而a
n=2n.(5分)
(2)數(shù)列{a
n}依次按1項(xiàng),2項(xiàng),3項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24),,每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào),故b
2009是第670組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.
由分組規(guī)律知,b
3,b
6,b
8,,b
2010,組成一個(gè)首項(xiàng)為b
3=8+10+12=30,公差為d=36的等差數(shù)列.所以b
2010=30+(670-1)×36=24114.(10分)
(3)當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí),求b
n的值.
數(shù)列{a
n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng),,m項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),,(m
2-m+2,m
2-m+4,m
2-m+6,,m
2+m);(m
2+m+2)(m
2+m+4,m
2+m+6),,(2m
2+2,2m
2+4,,2m
2+2m),(2m
2+2m+2),
第m組,第2m組,,第km(k∈N
*)組的第1個(gè)數(shù),第2個(gè)數(shù),,第m個(gè)數(shù)分別組成一個(gè)等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為m
2-m+2,m
2-m+4,m
2-m+6,,m
2+m公差均為m(m+1)
則第m組、第2m組,,第km組,的各數(shù)之和也組成一個(gè)等差數(shù)列,其公差為m
2(m+1)
第m組的m個(gè)數(shù)之和為
∴當(dāng)n=km時(shí),b
n=b
km=m
3+m+(k-1)m
2(m+1).(16分)
分析:(1)由:
,可用a
n與S
n的關(guān)系求解;
(2)先由數(shù)列{a
n}將(a
1),(a
2,a
3),(a
4,a
5,a
6),(a
7),(a
8,a
9),(a
10,a
11,a
12),轉(zhuǎn)化為(2),(4,6),(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24),按照每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)的規(guī)律抽象出b
3,b
6,b
8,,b
2010,組成一個(gè)首項(xiàng)為b
3,公差為36的等差數(shù)列.
(3)由“提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例)”即研究:當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí),求b
n.按照(2)的思路解決.
點(diǎn)評:本題考查通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,由數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列和轉(zhuǎn)化數(shù)列的能力.