Question

無論為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).

（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；

（2）若直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）欲求雙曲線的離心率的取值范圍，只需找到， 的齊次不等式，根據(jù)直線：與雙曲線恒有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程后，方程組必有解，成立，即可得到含，的齊次不等式，離心率的取值范圍可得．

（2）先設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出，，代入，化簡，即可求出，代入

即可．

（1）聯(lián)立，得，

即

當(dāng)時(shí)，，直線與雙曲線無交點(diǎn)，矛盾

所以．所以．

因?yàn)橹本�與雙曲線恒有交點(diǎn)，恒成立

即.所以，所以，．

（2）,直線：，

，

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033564513253989_DA/SYS201411172033564513253989_DA.013.png">，所以，整理得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720335266995150/SYS201411172033564513253989_DA/SYS201411172033564513253989_DA.033.png">，所以，，所以

所以雙曲線.

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)．