Question

已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點（1，）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=kx-2與橢圓E相交于A，B兩點，在OA上存在一點M，OB上存在一點N，使得，若原點O在以MN為直徑的圓上，求直線斜率k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設橢圓E的方程為 ，
∵=，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵橢圓經過點（1，），
∴橢圓的方程為 ．
（Ⅱ）記A、B 兩點坐標分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直線與橢圓有兩個交點，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞，
由韋達定理 ，，∵原點O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON，即 =0，∵，M在OA上，N在OB上，
∴=0，又 =（x₁，y₁ ），=（x₂，y₂ ），
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）-2k+4=0．
∴k²=＞，∴k=±．
分析：（Ⅰ）依題意設出橢圓E的方程，根據離心率的值以及橢圓經過點（1，），待定系數(shù)法求出橢圓的方程．
（Ⅱ）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關系，再利用OM⊥ON 及，
通過=0，解方程求出k的值．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及兩個向量坐標形式的運算．