【題目】已知數(shù)列 都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數(shù)列.

(1)設(shè)數(shù)列、分別為等差、等比數(shù)列,若, , ,求;

(2)設(shè)的首項為1,各項為正整數(shù), ,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列 的前項和;

(3)設(shè)是不小于2的正整數(shù)),,是否存在等差數(shù)列,使得對任意的,在之間數(shù)列的項數(shù)總是?若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)49;(2);(3)首項,公差的等差數(shù)列符合題意.

【解析】試題分析:

(1)由題意可得 ;

(2)由題意可得等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列中的項,所以. 數(shù)列的前項和.

(3) 存在等差數(shù)列,只需首項,公差.利用題中的結(jié)論可證得此命題成立.

試題解析:

解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,

由題意得, ,解得,因數(shù)列單調(diào)遞增,

所以,所以 ,所以, . 因為, , ,

所以.

(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,又,且,

所以,所以. 因為中的項,所以設(shè),即.

時,解得,不滿足各項為正整數(shù);

時, ,此時,只需取,而等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列中的項,所以;

時, ,此時,只需取

,得 是奇數(shù), 是正偶數(shù), 有正整數(shù)解,

所以等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列中的項,所以. 綜上所述,數(shù)列的前項和.

(3)存在等差數(shù)列,只需首項,公差.

下證之間數(shù)列的項數(shù)為. 即證對任意正整數(shù),都有,

成立.

.

所以首項,公差的等差數(shù)列符合題意.

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