Question

9．設(shè)A、B、C是三角形的三內(nèi)角，且lgsinA=0，又sinB、sinC是關(guān)于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的兩個根，求實數(shù)x的值．

Answer 1

分析 由lgsinA=0，解得：sinA=1，結(jié)合A的范圍，可得A=$\frac{π}{2}$．由韋達(dá)定理及誘導(dǎo)公式可得sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，兩邊平方解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，即可解得k的值．

解答 解：∵lgsinA=0，解得：sinA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
∵sinB、sinC是關(guān)于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的兩個根，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，兩邊平方可得：1+sin2B=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{2}$-B）=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，解得：k=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了韋達(dá)定理，倍角公式的應(yīng)用及計算能力，屬于中檔題．