Question

若f（x）=

2011

1-x

-

2011

1+x

的定義域是A，g（x）=

2013

1+a-x

-

2013

x -2a

（a＜1）的定義域為B．
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用,集合

分析：對于（1）需要先求f（x）定義域，再根據(jù)定義判斷奇偶性．
對于（2），求出函數(shù)g（x）的定義域，判斷兩個函數(shù)的定義域的包含關(guān)系即可．

解答： 解：（1）由f(x)=

2011

1-x

-

2011

1+x

的定義域應為：

1-x＞0 1+x＞0

，得-1＜x＜1，∴A=（-1，1）
f(-x)=

2011

1+x

-

2011

1-x

=-（

2011

1-x

-

2011

1+x

）=-f（x）
f（-x）=f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)g（x）=

2013

1+a-x

-

2013

x -2a

的定義域應為：

1+a-x＞0 x＞0 x≠4a2

?

0＜x＜a+1 x≠4a2(-1＜a＜1)

1°若a+1≥4a²?

1- 17

8

≤a≤

1+ 17

8

，故0＜4a²＜a+1
故函數(shù)的定義域應為：（0，4a²）∪（4a²，a+1），∴B=（0，4a²）∪（4a²，a+1）
要使B⊆A，只要a+1≤1，∴a≤0，∴a的取值范圍是[

1- 17

8

，0]
2°若a+1＞4a²，?a＜

1- 17

8

或a＞

1+ 17

8

，此時B=（0，a+1），要使B⊆A，只要a+1≤1，∴a≤0，
∴a的取值范圍是（-1，

1- 17

8

）
綜上，a的取值范圍是（-1，0]

點評：本題考查了函數(shù)的定義域，不等式的解法，集合的包含關(guān)系，屬于高檔題．