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已知函數f（x）=x4-2ax2，a∈R．
（1）當a≤0時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＜x＜2a時，函數f（x）存在極小值，求a的取值范圍．

解：（1）由題設知f'（x）=4x3-4ax，
令 f'（x）=0，得4x（x2-a）=0，當a≤0時，得x=0，
x＜0時，f'（x）＜0；x＞0時，f'（x）＞0，
∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，0）；單調遞增區(qū)間是（0，+∞）．
（2）∵a＜x＜2a，∴a＞0．
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=0或x=±，
列表如下：
x（-∞，-）（-，0）（0，）（，+∞）
f'（x）-+-+
f（x）遞減遞增遞減遞增
得x=-或x=時，f（x）極小=f（±）=-a2．
取x=-，由條件得 a＜-＜2a，無解．
取x=，由條件得 a＜＜2a，解得＜a＜1．
綜合上述：＜a＜1．
分析：（1）求導函數，當a≤0時，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區(qū)間；f'（x）＞0，可得單調遞增區(qū)間；
（2）當a＞0時，令f'（x）=0，得x=0或x=±，再確定函數的單調性，利用函數f（x）存在極小值，即可確定a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，正確求導、確定函數的單調性是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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