Question

9．已知函數f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范圍，并說明[b，c]⊆（0，1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過a的范圍，判斷導函數的符號，即可求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），直接求解 a＞e．當a＞e時．構造函數g（x）=x-2lnx（x≥e），求出導數，當x＞e時，推出 然后求解bc的范圍，即可說明[b，c]⊆（0，1）．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}（x＞0）$．…（2分）
（�。┊攁＜0時，f′（x）＜0，則函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，+∞）．
…（3分）
（ⅱ）當a＞0時，令f′（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以 f（x）的單調遞減區(qū)間是$（0，\frac{1}{a}）$，單調遞增區(qū)間是$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
當a＜0時，函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）內是減函數，
所以，函數f（x）至多存在一個零點，不符合題意．…（6分）
當a＞0時，因為 f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$內是減函數，在$（\frac{1}{a}，+∞）$內是增函數，
所以 要使{x|f（x）≤0}=[b，c]，必須$f（\frac{1}{a}）＜0$，即$aln\frac{1}{a}+a＜0$．
所以 a＞e．…（7分）
當a＞e時，$f（\frac{1}{a^2}）=aln（\frac{1}{a^2}）+{a^2}=-2alna+{a^2}=a•（a-2lna）$．
令g（x）=x-2lnx（x≥e），則$g'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}（x≥e）$．
當x＞e時，g′（x）＞0，所以，g（x）在[e，+∞）上是增函數．
所以 當a＞e時，g（a）=a-2lna＞g（e）=e-2＞0．
所以 $f（\frac{1}{a^2}）＞0$．…（9分）
因為 $\frac{1}{a^2}＜\frac{1}{a}＜1$，$f（\frac{1}{a}）＜0$，f（1）=1＞0，
所以 f（x）在$（\frac{1}{a^2}，\frac{1}{a}）$內存在一個零點，不妨記為b，在$（\frac{1}{a}，1）$內存在一個零點，不妨記為c．…（11分）
因為 f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$內是減函數，在$（\frac{1}{a}，+∞）$內是增函數，
所以 {x|f（x）≤0}=[b，c]．
綜上所述，a的取值范圍是（e，+∞）．…（12分）
因為 $b∈（\frac{1}{a^2}，\frac{1}{a}）$，$c∈（\frac{1}{a}，1）$，
所以[b，c]⊆（0，1）．…（13分）

點評 本題考查函數的導數判斷函數的單調性，函數的最值的求法，考查分類討論以及分析問題解決問題的能力．